Dr.-Ing. Th. SARTOROS

INFOS FÜR DIE LESER

Heute erscheinen in 2 Sprachen ( ΕΛΛΗΝΙΚΑ αnd ENGLISH) 2 Artikel über die Lösung von sogenannten

linearen Gleichungen ersten Grades mit 2 Unbekannten (bekannt als Diophantinische Gleihungen).

Der ein Artikel betrifft die Lösung des Alt-Griechischen Mathematikers DIOPHANTOS mit Übersetzung

in English, und der andere Artikel behandelt die Lösung von Gleichungen des ersten grades mit 2  

Unbekannten nach dem Engländer FERRAR (aus seinem Buch "higher Algebra"  ebenfalls übersetzt

in Englisch. "Wer vom Wem" abgeschrieben hat, und ob die hämischen Äußerungen des hiesigen

Verfassers stimmen, wird dem Leser überlassen dies zu verleichen.  

 

 

                                            ΕΛΛΗΝΙΚΑ  / GRIEHISCH 

Αλγόριθμος του Φιλολάου δια την λύσην Διοφαντινών εξισώσεων

                             1^ου βαθμού με 2 αγνώστους

 

Ελέχθη ότι οι εξισώσεις 1^ου βαθμού με δύο αγνώστους προκύπτουν από προβλήματα

των απλών γραναζωτών διαφορικών και αργότερα από τα τριάτρακτα γραναζωτά

Πλανητικά Διαφορικά και Συσκευές Διαίρεσης του κύκλου σε πολλά ίσα μέρη,

δια τα οποία οι αρχαίοι Ελληνες επιδίωξαν να εύρουν την λύσην ήδη από τον 6 π.σ.χ. αιώνα.

Σαν απόδειξη των λεχθέντων θα αναφέρουμε και ένα αριθμητικό παράδειγμα εφαρμογής

του Αλγορίθμου του Φιλολάου (γνωστός σαν Μέθοδος του Ευκλείδη) δια την λύσην εξισώσεων

πρώτου βαθμού με δύο αγνώστους Χ και Υ.

Εστω ότι δίδεται η γραμμική εξίσωση : 127*X - 52*Y + 1 = 0  όπου οι συντελεστές δεν έχουν

κοινούς διαιρέτες και ζητείται η λύση.

Σχηματίζομε το πηλίκον των δύο συντελεστών : 127/52 = 2 + 23/52

Το πηλίκον μπορεί να γραφεί :                   2 +  1/(52/23)

Στον νέον παρονομαστήν (52/23) εκτελούμε την διαίρεσην οπότε λαμβάνομε: (52/23) = 2 + 6/23

Το αποτέλεσμα μπορούμε να το γράψουμε σαν : 2 + 6/23 = 2 + 1/(23/6) οποτε το αρχικό

κλάσμα λαμβάνει την μορφήν:
                                                          127/52 = 2 + 1 / ( 2  + 1/(23/6))

Επαναλαμβάνομε την ίδιαν διαδικασίαν στο κλάσμα 23/6 και ευρίσκομε:

                                                           (23/6) = 3 + 5/6

οπότε το αρχικό κλάσμα γράφεται :

          127/52 = 2 + 1 / ( 2  + 1/( 3 + 1/(6/5)))  = 2 + 1 / ( 2  + 1/( 3 + 1/(1 + 1/5))) 

 

Αν θεωρήσομε το υπόλοιπο 1/5 σαν μηδαμινό μέγεθος και το παραβλέψομε τότε

το αρχικό κλάσμα 127/52 γράφεται:

127/52 = 2 + 1 / ( 2  + 1/( 3 + 1/1))  = 2 + 1 / ( 2  + 1/4) = 2 + 4/9 = 22/9

η Διαφορά μεταξύ του αρχικού κλάσματος και του νεοευρεθέντος κλάσματος είναι:

  127/52 - 22/9 =  ( 1143 - 1144) / (52*9)  = - 1 / (52*9)

πολλαπλασιάζομε αμφότερα τα μέλη της ως άνω έκφρασης με τον κύριον παρονομαστήν (52*9)

και λαμβάνομε:
                         127*9 - 52*22   = - 1  ή         127*9 - 52*22 + 1 = 0       127*X - 52*Y + 1 = 0 

 

Συγκρίνοντας με την δοσμένην εξίσωσην 127*X - 52*Y + 1 = 0  διαπιστώνομε ότι οι άγνωστοι

Χ και Υ πρέπει να έχουν τις τιμές Χ = 9 και  Υ = 22, τιμές οι οποίες αποτελούν μίαν πρώτην

λύσην της εξίσωσης. (Ιδε και συγκρινε λυση  FERRAR) Ολες οι άλλες λύσεις ευρίσκονται θέτοντας

X = 9 + 52*τ   και Y = 22 + 127*τ ( όπου τ μία σταθερά η οποία μπορεί να πάρει τις ακέραιες

τιμές τ = 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5......

Από το παραπάνω παράδειγμα προέκυψε η ατράνταχτη απόδειξη ότι ο Αλγόριθμος του

Φιλολάου στα κλάσματα με παρονομαστάς συνεχή κλασματα χρησίμευε στην λύσην των

εξισώσεων πρώτου βαθμού με δύο αγνώστους, δηλ δια την λύσην προβλημάτων τα οποία

προέρχονται από τους γραναζωτούς μηχανισμούς, δια τους οποίους οι αρχαίοι Ελληνες,

ανέπτυξαν τα ανώτερα Μαθηματικά.

Ο Διόφαντος (~160 - 80 π.σ.χ) λοιπόν δεν είναι ο πρώτος όστις ασχοληθηκε με την λύσην

των εξισώσεων 1^ου βαθμού με δύο αγνώστους, αλλά προφανώς υπήρξαν ήδη από την

εποχήν του  Πυθαγόρα (580 π.σ.χ.) και Κλεοστράτους ανεπτυγμένες μέθοδοι λύσεων,

τις οποίες εδίδαξε ο Διόφαντος με τα βιβλία Αριθμητικής του.

Ο Γραναζωτός Μηχανισμός των Αντικυθήρων δεν παρουσιάζει λοιπόν καμμία μαθηματική

δυσκολία στους κατασκευαστάς του, διότι ασφαλώς γνωρίζουν εκτός των Μαθηματικών

λύσεων και την Αστρονομίαν και τον σχεδιασμόν και κοπήν Γραναζιών.

 

DEUTSCHE EINLEITUNG FÜR DIE LESER

Heute erscheinen in 2 Sprachen ( ΕΛΛΗΝΙΚΑ αnd ENGLISH) 2 Artikel über die Lösung von sogenannten

linearen Gleichungen ersten Grades mit 2 Unbekannten (bekannt als Diophantinische Gleihungen).

Der ein Artikel betrifft die Lösung des Alt-Griechischen Mathematikers DIOPHANTOS mit Übersetzung

in English, und der andere Artikel behandelt die Lösung von Gleichungen des ersten grades mit 2  

Unbekannten nach dem Engländer FERRAR (aus seinem Buch "higher Algebra"  ebenfalls übersetzt

in Englisch. "Wer vom Wem" abgeschrieben hat, und ob die hämischen Äußerungen des hiesigen

Verfassers stimmen, wird dem Leser überlassen dies zu verleichen  

 

ENGLISCHE ÜBERSETZUNG des o,g, griechischen Artikels 

 

Philolaus' algorithm for solving Diophantine equations of the 1st degree with 2 unknowns

 

It was checked that 1st degree equations with two unknowns arise from problems

of the single gear differentials and later of the three-shaft gears

Planetary Differentials and Devices for Dividing the circle into many equal parts,

for which the ancient Greeks sought to find the solution as early as 6 BC. century.

As proof of what has been said, we will mention a numerical application example

of Philolaus' Algorithm (known as Euclid's Method) for solving equations

first degree with two unknowns X and Y.

Suppose that the linear equation is given: 127*X - 52*Y + 1 = 0 where the coefficients

do not have common divisors and the solution is requested.

Form the quotient of the two coefficients: 127/52 = 2 + 23/52

The quotient can be written: 2 + 1/(52/23)

In the new denominator (52/23) we perform the division so we get: (52/23) = 2 + 6/23

The result can be written as: 2 + 6/23 = 2 + 1/(23/6) so the original

fraction takes the form:

                                             127/52 = 2 + 1 / ( 2 + 1/(23/6))

We repeat the same process on the fraction 23/6 and find:

                                                   (23/6) = 3 + 5/6

so the original fraction is written:

           127/52 = 2 + 1 / ( 2 + 1/( 3 + 1/(6/5))) = 2 + 1 / ( 2 + 1/( 3 + 1/(1 + 1/5)))

If we consider the remaining 1/5 as a negligible quantity and ignore it then

the original fraction 127/52 is written:

127/52 = 2 + 1 / ( 2 + 1/( 3 + 1/1)) = 2 + 1 / ( 2 + 1/4) = 2 + 4/9 = 22/9

the Difference between the original fraction and the newly found fraction is:

   127/52 - 22/9 = ( 1143 - 1144) / (52*9) = - 1 / (52*9)

multiply both members of the above expression by the main denominator (52*9)

and we get:

                          127*9 - 52*22 = - 1 or 127*9 - 52*22 + 1 = 0 127*X - 52*Y + 1 = 0

Comparing with the given equation 127*X - 52*Y + 1 = 0 we find that the unknowns

X and Y must have the values X = 9 and Y = 22, values which constitute a prime

solution of the equation. (See and compare FERRAR's solution)

All other solutions are found by setting

X = 9 + 52*τ and Y = 22 + 127*τ (where τ is a constant that can take the integers

values τ = 0, 1, 2, 3, 4, 5......

From the above example came the unwavering proof that his Algorithm

Philolaus on fractions with denominators continued fractions served in their solution

of equations of the first degree with two unknowns, i.e. for the solution of problems which

come from the gear mechanisms, by which the ancient Greeks,

they developed higher Mathematics.

Diophantus (~160 - 80 BC) is therefore not the first to deal with the solution

of equations of the 1st degree with two unknowns, but apparently already existed from the

at the time of Pythagoras (580 BC) and Cleostratus developed solution methods,

which Diophantus taught with his Arithmetic books.

The Gear Mechanism of Antikythera therefore does not present any mathematics

difficulty for its makers, because they certainly know outside of Mathematics

solutions and Astronomy and the design and cutting of Gears.

 

"ΜΕΘΟΔΟΣ ΦΕΡΡΑΡ" 

 

Γραμμικές εξισώσεις με 2 αγνώστους και λύση "W.L. Ferrar" με χρήση Κλασμάτων

με παρονομαστάς συνεχή κλάσματα; Φιλόλαος  και Διοφαντινές εξισώσεις

Στην σειρά των  Αγγλων ομοθεθνών του (Willis, Heath) κατατάσσεται και ο Αγγλος Μαθηματικός

W. L. Ferrar,  όστις στο μοντέρνο σύγγραμμά του "Higher Algebra" (1954) αποκρύπτει απο πού

αντέγραψε ή που ηύρε τις λύσεις γραμμικών εξισώσεων με δυο αγνώστους, και συστηματικά

αποφεύγει να τις ονομάσει "Διοφαντινές εξισώσεις".  

 

Φυσικά δεν είναι αντικείμενο του παρόντος εγχειριδίου να κρίνομε τις όποιες ομοιότητες των λύσεων,

τις οποίες προσφέρει ο W. L. Ferrar, στο κεφάλαιο ανισότητες ή σε άλλα κεφάλαια, με τις λύσεις

υπάρχουσες στα συγγράμματα του Διοφάντου, αλλά να κεντρίσομε το ενδιαφέρον δια την έρευνα

από Ελληνας Μαθηματικούς για  την αποκάλυψη της αλήθειας.

 

Ασχολείται μόνο σε τρεις σελίδες (300-303) με την λύσην (Διοφαντινών) εξισώσεων με δύο αγνώστους

(κάνοντας χρήση κλασμάτων με αλυσσιδωτούς κλασματικούς παρονομαστάς) και δια να τεκμηριώσομε

τον ως άνω χαρακτηρισμόν, αναφέρομε το εξής αριθμητικό του παράδειγμα.

 

Ζητείται να ευρεθούν οι αριθμητικές λύσεις της (Διοφαντινής) εξίσωσης με δύο αγνώστους :

                                                        17*Χ + 7 * Υ = 5

Διαιρεί τον Συντελεστήν 17 του Χ δια του Συντελεστού 7 του Υ και και συνεχίζει τις διαιρεσεις του 17/7

όπως δείχνεται κατωτέρω:

                                                17/7 = 2 + 3/7 = 2 + 1/(7/3) = 2 + 1/2 + 

Το προτελευταίο κλάσμα της συνεχούς διαρεσεως είναι 5/2. Διαπιστώνει ότι τα κλασματα 5/2 και 17/7

είναι δύο γειτονικά και συνεχόμενα κλάσματα και με βάση την εξίσωση την οποίαν έχει  ορίσει

λίγο ενωρίτερα  γράφει:

                                                17*2 - 7*5 = -1

Από την ως άνω εξίσωση ευρίσκει μία μερική λύση δια την αρχικήν εξίσωση 17*Χ + 7 * Υ = 5,

λύσην την οποίαν δίδει με τους αριθμούς Χ = - 10 και Υ = - 25

(κάνει την επαλήθευση και ευρίσκει - 170 + 175 = 5)

 

Δια να εύρει τις ακέραιες λύσεις της αρχικής εξίσωσης γράφει:

                                  17*Χ + 7 * Υ = 5 + 17 * Ξ - 7 * Η

η οποία ικανοποιείται μόνο αν   Ξ = 7 * Κ   και   Η = 17 * Κ,

όπου Κ ενας ακεραιος αριθμός Κ = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4,  κ.ο.κ.

Δίνει την λύσην δια την αρχικήν εξίσωσην ως εξής:   Χ = - 10 + 7 * Κ      και   Υ = - 25 + 17 * Κ

 

Συμπλήρωση

Ενδιαφέρον για Μαθηματικούς και Ιστορικούς Μαθηματικών Επιστημών παρουσιάζει, στο έβδομο

κεφάλαιο, η λύση της τριτοβάθμιας εξίσωσης "Χ³ - 6Χ + 4 = 0" με τριγωνομετρική μέθοδο στις σελίδες

196-197 του βιβλίου του Φερραρ με τίτλο Higher Algebra (μετάφραση στα Γερμανικά Höhere Algebra).

 

Εδώ θα εκφράσομε την αμυδρή υποψία οτι η λύση προέρχεται απο αρχαίους Ελληνες αλλά το όλο θέμα

ανήκει και αφίεται στους ερευνητάς.  

Σύγκρινε με τις διαπιστώσεις του Ιππ. Δάκογλου στον τρίτο Τόμο, σελίδα 261 -310, με τίτλο "

Τριχοτόμηση γωνίας", του έργου του

"Ο μυστικός κώδικας του Πυθαγόρα και η αποκρυπτογράφηση της διδασκαλίας του"

(ISBN (Set) 960-7076-55-9

 ENGLISCHE ÜBERSETZUNG des o,g, griechischen Artikels

Linear equations with 2 unknowns and solution W.L. Ferrar using Fractions with continued

fraction denominators; Philolaos and Diophantine equations

Among his English compatriots (Willis, Heath) is also the English Mathematician W. L. Ferrar,

who in his modern compendium "Higher Algebra" (1954) hides from where he copied or found the

solutions of linear equations with two strangers, and systematically avoids call them "Diophantine

equations".

 

Of course, it is not the object of this manual to judge any similarities of the solutions, which W. L. Ferrar

offers, in the chapter inequalities or in other chapters, with the solutions existing in the writings of

Diophantos, but to stimulate interest in research by Greek Mathematicians for the revelation of the truth.

He deals in only three pages (300-303) with the solution of (Diophantine) equations with two unknowns

(using fractions with chained fractional denominators) and in order to document the above characterization,

we mention his following numerical example.

It is requested to find the numerical solutions of the (Diophantine) equation with two unknowns:

                                                         17*X + 7 * Y = 5

Divides Coefficient 17 of X by Coefficient 7 of Y and continues the divisions of 17/7

as shown below:

                                     17/7 = 2 + 3/7 = 2 + 1/(7/3) = 2 + 1/2 +

The penultimate fraction of the continued division is 5/2. He finds that the fractions 5/2 and 17/7

are two adjacent and continuous fractions and based on the equation he defined a little earlier he writes:

                                                 17*2 - 7*5 = -1

From the above equation a partial solution is found for the original equation 17*X + 7 * Y = 5,

solution which he gives with the numbers X = - 10 and Y = - 25

(does the verification and finds - 170 + 175 = 5)

To find the integral solutions of the original equation he writes:

                           17*X + 7 * Y = 5 + 17 * X - 7 * H

which is satisfied only if Ξ = 7 * K and H = 17 * K,

where K an integer K = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, etc.

It gives the solution for the original equation as follows: X = - 10 + 7 * K and Y = - 25 + 17 * K

Completion

Of interest to Mathematicians and Historians of Mathematical Sciences, in the seventh chapter,

the solution of the tertiary equation "X3 - 6X + 4 = 0" by trigonometric method on pages

196-197 of Ferrar's book Higher Algebra (German translation Höhere Algebra).

Here we will express the faint suspicion that the solution comes from ancient Greeks but the

whole matter belongs and is left to the researchers.

Compare with the findings of Hippo. Dakoglou in the third Volume, page 261 -310, entitled

"Trisection of an Angle", of his work

"The Secret Code of Pythagoras and the Decipherment of Its Teaching"

(ISBN (Set) 960-7076-55-9

 

N.B.

ΜΕΤΑΦΡΑΣΕΙΣ / TRANSLATION / Überσetzungen  εγιναν με το προγραμμα του GOOGLE

          Καμμια διορθωση / Keine Berichtigung 

 

                             

 

                                     Sorry, but the Publications are not translated.

 

                        They are witten only in German language.

                         

                                         look there